Das jetzt.de-Abi: Mathe - die zweite Ableitung der Sauflaune exzellenter DJs

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1. DJs werden auf der Tanzfläche bewertet. Je mehr Menschen tanzen, desto besser ist der DJ. Doch auch der beste DJ schafft es nicht, dass alle im Club ihr Tanzbein schwingen. Durchschnittlich tanzen von zehn Menschen nur sieben, die anderen drei bestellen sich gerade ein Bier, zünden sich eine Zigarette an oder quatschen am Rand mit einer neuen Bekanntschaft. Es wird angenommen, dass sich in einem Club 100 Menschen befinden. Wenn ungefähr 70 Gäste tanzen, dann ist der DJ ein ziemlicher Standard-DJ. Ab 75 Tanzenden gilt er als gut und wenn mehr als vier Fünftel der Anwesenden ihre Hüften kreisen, dann ist er schon exzellent.

a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau 70 Leute tanzen?

b) Wie viel Prozent aller DJs legen gut oder exzellent auf?

c) Wie oft muss man Party machen, um mit mindestens 90-prozentiger Wahrscheinlichkeit einen exzellenten DJ miterleben zu können?

2. Weil man bei der Wahl der Party es nicht dem Zufall überlassen will, ob man einen guten DJ beim Auflegen zuhören kann, kauft man sich ein Stadtmagazin. Aber auch das Stadtmagazin ist kein hundertprozentiger Garant für einen lustigen Abend. Mit einer Wahrscheinlichkeit von 16 Prozent irrt sich der Redakteur bei der Einschätzung der Clubnacht. Vor allem aber gibt es zur Zeit leider viel zu wenig gute Clubs in der Stadt. Meistens sind die Clubs maßlos überfüllt, so dass man sich angesichts einer viel zu langen Schlange vor dem Club in 52 Prozent aller Fälle dafür entscheidet, doch lieber in die Stammkneipe zu gehen.

a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, freitagabends doch noch zu guter Musik tanzen zu können?

b) Was passiert, wenn neue gute Clubs aufgemacht werden oder alte gute Clubs zu machen? Bitte mit einer kurzen Begründung, warum es passiert?

3. Ein weiteres interessantes Phänomen des Nachtlebens ist die Trinkgewohnheit. Dabei ist festzustellen, dass durch den Abend hindurch nicht gleich schnell getrunken wird. In der Regel ist es so, dass man zunächst immer schneller trinkt, aber ab einem bestimmten Moment die Sauflaune abnimmt, bis sie schließlich ganz verschwindet. Im Großen und Ganzen kann man annehmen, dass die Funktion

die Trinkgeschwindigkeit im Verlaufe eines Abends widerspiegelt. X gibt dabei die Uhrzeit an. Weiterhin wird angenommen, dass man genau um Mitternacht mit der Party anfängt und dann auch das erste Bier trinkt.

a) Wann trinkt man am schnellsten und wann nimmt man seinen letzten Schluck?

b) Wie viel Bier hat man bis zwei Uhr getrunken, wenn das Ergebnis der dafür notwendigen Rechnung den Bierkonsum in Litern angibt?

Und wie geht´s aus? Auf den folgenden Seiten findest du die Lösungen, ausgerechnet von Simon "The Brain" Poelchau.

Lösung Aufgabe 1 1a)

1b) Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass ein DJ gut oder besser auflegt, muss man die Restwahrscheinlichkeit, dass ein DJ nicht gut ist, also nicht mehr als 74 Menschen zum Tanzen bringt, berechnen:

1c) Um zu dem gewünschten Ergebnis zu gelangen, formuliert man die Frage am Besten gleich um: Wie oft darf man höchstens in Clubs gehen, um mit einer Wahrscheinlichkeit, die größer als 10 Prozent ist, keinen DJ zu hören, der exzellent ist? Die Wahrscheinlichkeit, dass der DJ nicht exzellent ist, beträgt 98,35 Prozent, die Anzahl der Partynächte sei n:

Lösung Aufgabe 2

2a) Zunächst geht man davon aus, dass die Sachverhalte, dass sich der Redakteur in seiner Einschätzung irren kann und dass es zu wenige Clubs in der Stadt gibt, zwei statistisch von einander unabhängige Größen sind. Deswegen muss man, um zum Ergebnis zu gelangen, die einzelnen Wahrscheinlichkeiten, dass sich der Redakteur nicht irrt und dass man tatsächlich in den Club geht, multiplizieren:

2b) Wenn gute neue Clubs aufmachen, dann kann man davon ausgehen, dass sich die Partygänger auf diese neuen Clubs verteilen. Die Wahrscheinlichkeit, dass man angesichts einer zu langen Warteschlange doch lieber in die Kneipe geht wird sich also verringern. Ergo die Wahrscheinlichkeit, dass man zur Musik eines guten DJs tanzen wird, nimmt zu. Wenn Clubs schließen, ist das Gegenteil der Fall. Die Warteschlangen der verbliebenen Clubs werden noch viel länger, was dazu führt, dass man immer öfter den Freitagabend in seiner Stammkneipe verbringt. Also wird es immer unwahrscheinlicher, dass man in den Genuss von guten DJs kommt.

 

Lösung Aufgabe 3

3a) Am schnellsten trinkt man, wenn die 1. Ableitung null ist, und sich an dieser Stelle ein Hochpunkt der Funktion befindet, das Ergebnis der zweiten Ableitung muss also negativ sein. 

1. Ableitung:

 

f’’(0)>0. Das heißt, dass null Uhr mathematisch gesehen ein Tiefpunkt der Sauflaune ist. Man muss sich erstmal fürs Trinken in Stimmung trinken.

 

f’’(4)<0. Das heisst, dass man um vier Uhr die Klimax seiner Trinkfreudigkeit erreicht hat.

 

Um sechs Uhr hört man gänzlich mit dem Trinken auf, weil da die Trinkgeschwindigkeit gleich null ist:

 

3b) Die Formel gibt die Trinkgeschwindigkeit an. Um auf die bis zwei Uhr getrunkene Biermenge zu kommen, muss man die Funktion von null bis zwei Uhr integrieren:

 

Bis zwei Uhr trinkt man also genau einen Liter Bier.

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