Mathematik ist nicht nur rechnen. Eigentlich ist „richtige“ Mathematik ganz anders als das, was man aus der Schule als Mathe kennt. Was auf jeden Fall auch dazu gehört, sind kleine Knobelaufgaben. Davon will ich euch ein paar vorstellen - und „klein“ ist hier ganz besonders treffend: es gibt nämlich viele Knobelaufgaben mit Zwergen. Meistens spielen auch noch die Mützen der Zwerge eine Rolle; und das ist wohl ein Grund, warum man Zwerge für die Aufgaben nimmt und nicht Menschen oder Orks, die ja nicht immer eine Mütze haben.

Wie in Teil 1 stellen wir uns wieder eine Höhle vor, in der Zwerge wohnen. Diesmal ist es aber eher eine kleine Zwergen-WG mit drei Zwergen. Eines Tages kommt ein böser Zauberer vorbei, stellt die Zwerge in eine Reihe, sodass jeder Zwerg nur die Zwerge vor ihm sieht, und setzt jedem Zwerg eine rote oder blaue Mütze auf.
Eigentlich will der Zauberer die Zwerge ja einsperren, aber er gibt ihnen eine Chance: Sie sollen alle die Farbe ihrer Mütze erraten. Höchstens ein Zwerg darf falsch liegen, dann kommen sie frei.
Zuerst soll der hinterste Zwerg, der vor sich zwei andere Zwerge sieht, seine Mützenfarbe erraten. Danach ist der mittlere Zwerg, der also vor sich noch einen Zwerg sieht, dran. Dann ist schließlich der vorderste Zwerg, der gar keinen anderen sieht, an der Reihe.
Dabei gelten folgende strengen Regeln des Zauberers:
Die Zwerge dürfen zuerst eine Strategie vereinbaren, aber nicht mehr untereinander kommunizieren, sobald sie ihre Mützen aufhaben. Dann dürfen sie nur die Farbe ihrer Mütze sagen. Dabei können sie sich allerdings gegenseitig hören.

Die Zwerge überlegen kurz und stellen fest: Sie können es tatsächlich immer schaffen, freizukommen! Es gibt eine gute Strategie!
Wie ist diese Strategie?

Die Lösung gibt's auf der nächsten Seite, aber vielleicht kommst du ja selbst drauf…

---

Der hinterste Zwerg hat keinerlei Informationen über seine Mützenfarbe; um die richtige Farbe zu raten, kann er also höchstens raten. Dann hat aber der mittlere Zwerg auch keine Information über seine Mützenfarbe und müsste raten usw. Mit viel Glück kommen die Zwerge zwar frei, aber sie wollen nicht auf ihr Glück vertrauen.

Der hinterste Zwerg kann also statt seine Mützenfarbe zu raten, den anderen Zwergen Informationen geben.
Die erste Idee dazu könnte sein, dass er die Mützenfarbe seines Vordermanns sagt. Dieser kann sie auch sagen und hat dadurch seine Farbe richtig benannt. Aber der vorderste Zwerg hat wieder keine Ahnung. Ohne Glück machen die Zwerge also mehr als zwei Fehler beim Farbenraten.

Es muss also eine trickreichere Strategie geben. Die gibt es auch:
Die Zwerge könnten vereinbaren, dass der hinterste Zwerg „blau“ sagt, wenn er vor sich 0 oder 2 blaue Mützen sieht. Wenn er vor sich nur eine blaue Mütze sieht, sagt er „rot“.
Der mittlere Zwerg sieht noch die Mützenfarbe des vorderen Zwergs. Wenn der hintere Zwerg „blau“ gesagt hat und die Mützenfarbe des vorderen Zwergs ist rot, dann muss die Mützenfarbe des mittleren Zwergs auch rot sein, weil es 0 oder 2 blaue Mützen gibt. 0 können es aber nicht sein, weil eine ja schon rot ist. Genauso kann sich der mittlere Zwerg auch in allen anderen Fällen überlegen, welche Farbe seine Mütze wohl haben muss.

Auch der vorderste Zwerg kann sich am Ende dann seine Mützenfarbe überlegen. Denn er kennt die Mützenfarbe des mittleren Zwerges, der sie ja gesagt hat. Dem vordersten Zwerg geht es also dann wie dem mittleren Zwerg: Er kennt die Information des hintersten Zwerges und er kennt die Mützenfarbe des anderen Zwergs. Jetzt kann auch er sich überlegen, welche Farbe seine Mütze hat.

Der vordere und der mittlere Zwerg können also ihre Mützenfarbe richtig erraten. Die Zwerge machen daher höchstens einen Fehler und kommen also frei.


Für Interessierte:
Man kann diese Strategie auch auf 4; 5; 6; …; n Zwerge oder sogar auf mehr als zwei Mützenfarben ausweiten.
Es gibt sogar eine Strategie für unendlich viele Zwerge (das muss eine echt große Zwergenhöhle sein!) — diese Strategie sieht dann aber ein bisschen anders aus.